Opérateur de Laplace, origine physique, équation de diffusion, proies prédateurs, dynamique de population, finance... Conditions aux bords: Dirichlet et Neumann et leurs signification physique, valeurs propres et interprétations pratiques.
Opérateur linéaire fermé, Opérateur auto-adjoint compact, Opérateur compact, Décomposition spectrale d'un opérateur auto-adjoint compact.3- Équations différentielles avec retard et écologie: K. Ezzinbi (notes provisoires)
Équations différentielles avec retard en dimension infinie, Existence, unicité et comportement asymptotique de certaines solutions, applications à l'ecologie.4- Spectre de l'opérateur de Laplace et Géométrie: A. El Soufi
Valeurs propres du Laplacien sur une variété compacte, avec condition de Dirichlet ou de Neumann au bord, principe de min max, Géométrie extrémales pour les valeurs propres sous contrainte de volume constant, Résultats isopérimétriques.
Equations paraboliques et hyperboliques en domaine infini. Attracteurs, instabilités et équations d'amplitude (développements multi-échelles), exemples physiques. Solutions particulières: fronts, groupe de renormalisation.
Elements de théorie spectrale, opérateur de Schrödinger, oscillateur harmonique, limite thermodynamique, intégrales de Laplace, analyse semi-classique. Lien avec la mécanique statistique et la mécanique quantique.
Principe du maximum, inégalité de Harnack, théorèmes de Liouville, régularité des solutions, méthode de sur et sous-solutions, méthode des moving planes, et sliding méthode, Problèmes variationnels.
Matériaux supraconducteurs, modèle de Ginzburg-Landau, Système
en dimension 1, minimiseurs globaux, vortex, symétries, asymétries,
renormalisation.